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  <title>函数列与函数项级数</title>
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<body>

<h2>函数逼近</h2>

<p class="example">
  设 `f in C[a, b]`, 若
  <span class="formula">
    `int_a^b f(x) varphi(x) dx = 0`,
    `quad AA varphi in C[a, b]`, `int_a^b varphi(x) dx = 0`,
  </span>
  则 `f` 为常数.
</p>

<!--
<p class="proof">
  反设 `f` 不为常数, 记 `f` 在 `[a, b]` 上的最大值和最小值分别为 `f(x_1)`,
  `f(x_2)`. 取 `0 lt epsi lt (f(x_1) - f(x_2))//2`, 由连续性, 存在 `delta_1,
  delta_2 gt 0`, 使得
  <span class="formula">
    `|f(x) - f(x_1)| lt epsi`, `quad AA x in B_1 := B(x_1, delta_1)`,<br>
    `|f(x) - f(x_2)| lt epsi`, `quad AA x in B_2 := B(x_2, delta_2)`.
  </span>
  我们可以取 `delta_1, delta_2` 充分小, 使 `B_1` 和 `B_2` 不相交.
  现在取连续函数 `varphi`, 其中
  <span class="formula">
    `varphi(x) = {
      1/(2delta_1), x in B_1;
      -1/(2delta_2), x in B_2;
    :}`
  </span>
  适当选取 `varphi` 的值, 使得 `f(x) varphi(x)` 在
  `[a, b] \\ (B_1 uu B_2)` 上的积分恰好为零. 于是
  <span class="formula">
    `int_a^b f(x) varphi(x) dx`
    `= 1/(2delta_1) int_(B_1) f(x) dx`
    `- 1/(2delta_2) int_(B_2) f(x) dx`
    `ge 1/(2delta_1) int_(B_1) (f(x_1) - epsi) dx`
    `- 1/(2delta_2) int_(B_2) (f(x_2) + epsi) dx`
    `= f(x_1) - f(x_2) - 2epsi gt 0`,
  </span>
  矛盾.
</p>
-->
<p class="proof">
  记 `f` 在 `[a, b]` 上的平均值为 `p = 1/(b-a) int_a^b f(x) dx`,
  容易验证 `f-p` 是连续函数, 且 `int_a^b (f(x)-p) dx = 0`. 取 `varphi
  = f - p` 有
  <span class="formula">
    `int_a^b |f(x) - p|^2 dx`
    `= int_a^b f(x) (f(x) - p) dx - p int_a^b (f(x) - p) dx = 0`.
  </span>
  由于 `f - p` 是连续函数, 上式蕴含 `f(x) -= p`.
</p>

<p class="lemma">
  <b>变分引理</b>
  设 `f in L^2[a, b]`, 若 `AA varphi in C_0[a, b]` (即 `varphi` 是 `[a, b]` 上在两个端点处等于零的连续函数) 有
  <span class="formula">
    `int_a^b f(x) varphi(x) dx = 0`,
  </span>
  则 `f` 几乎处处为零.
</p>

<ol class="proof">
  根据逼近定理??, 存在函数列 `varphi_n in C_0[a, b]`
  使得 `varphi_n overset (L^2) rarr f`, `n to oo`.
  由 Cauchy 不等式,
  <span class="formula">
    `int_a^b f^2(x) dx`
    `= int_a^b f(x) [f(x) - varphi_n(x)] dx`
    `le sqrt(int_a^b f^2(x) dx) sqrt(int_a^b |f(x) - varphi_n(x)|^2 dx)`.
  </span>
  令 `n to oo`, 就有 `int_a^b f^2(x) dx = 0`. 由定理??,
  这当且仅当 `f` 几乎处处为零.
</ol>

<p class="example" id="exp-weierstrass-function">
  <b>Weierstrass 函数</b>
	<span class="formula">
		`f(x) = sum_(n ge 0) a^n cos(b^n pi x)`,
		`quad 0 lt a lt 1`, `b` 为正奇数
	</span>
  在 `RR` 上处处连续, 且 `ab gt 1 + 3/2 pi` (即, `b ge 7`) 时处处不可导.
  `f(x)` 是 Hölder 连续的, 但不是 Lipschitz 连续的.
</p>

<div class="img md" title="随着 b 的增大, Weierstrass 函数变得充满锯齿而不可导 [来自 wikipedia]">
  <img src="https://pic4.zhimg.com/50/v2-2b9f78f214f7f857befdd22acd324c82_hd.webp"/>
</div>

<ol class="proof">
  [来自 <a href="https://zhuanlan.zhihu.com/p/112726225">知乎</a>]
  <li>连续性:
    由优级数 `sum_(n=0)^(oo) a^n`, 利用 Weierstrass 判别法知
    `f(x)` 在 `RR` 上内闭一致收敛.  由于每个函数项是 `RR` 上的连续函数,
    所以 `f(x)` 也是 `RR` 上的连续函数.
  </li>
  <li>下证 `f` 处处不可导. 为此, 记
    <span class="formula">
      `(f(x+h) - f(x))/h`
      `= sum_(n ge 0) a^n [cos b^n pi (x+h) - cos b^n pi x] // h`
      `= sum_(n=0)^(m-1) + sum_(n ge m)`
      `= S_m + R_m`.
    </span>
  </li>
  <li>`|S_m|` 的上界.
    由微分中值定理,
    <span class="formula">
      `|cos b^n pi (x+h) - cos b^n pi x|`
      `= |b^n pi h sin b^n pi (x+theta h)|`
      `le b^n pi |h|`, `quad theta in (0, 1)`,
    </span>
    有
    <span class="formula">
      `|S_m| le sum_(n=0)^(m-1) a^n b^n pi`
      `= pi (a^m b^m -1)/(a b -1)`
      `le pi (a^m b^m)/(a b-1)`.
    </span>
  </li>
  <li>`|R_m|` 的下界.
    将 `b^m x` 写为整数部分和小数部分:
    <span class="formula">
      `b^m x = A_m + B_m`,
      `quad A_m in ZZ`, `B_m in [-1/2, 1/2)`.
    </span>
    令 `h = (1-B_m)/b^m`, 则 `h in (0, 3/(2 b^m)]`.
    注意 `b` 是奇数, 有
    <span class="formula">
      `cos b^n pi (x+h)`
      `= cos b^(n-m) pi (b^m x + b^m h)`
      `= cos b^(n-m) pi (1 + A_m)`
      `= (-1)^(1+A_m)`,<br>
      `cos b^n pi x`
      `= cos b^(n-m) pi (A_m + B_m)`
      `= (-1)^(A_m) cos b^(n-m) pi B_m`.
    </span>
    因此
    <span class="formula">
      `|R_m| = 1/|h| sum_(n ge m) a^n (1 + cos b^(n-m) pi B_m)`
      `ge a^m/|h| (1+cos b^0 pi B_m)`
      `ge a^m/|h|`
      `ge 2/3 a^m b^m`.
    </span>
  </li>
  <li>综上
    <span class="formula">
      `|(f(x+h) - f(x))/h|`
      `ge |R_m| - |S_m|`
      `ge (2/3 - pi/(a b-1)) a^m b^m`.
    </span>
    令 `m to oo`, 则 `h` 是一个趋于零的数列.
    只要 `2/3 - pi/(a b-1) gt 0`, 上式右边就趋于正无穷, 因此 `f` 不可微.
  </li>
</ol>

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</body>
</html>
